机械手表擒纵机构动力学分析

2013-7-2 21:39:54  来源：计测网通讯员
　　摘要:擒纵机构是机械手表中的关键部件之一，由于受到周期性受迫振荡而使其运动十分复杂。基于此，研究了瑞 士叉瓦式擒纵机构的动力学问题，将擒纵机构的半周期分成4 个部分，采用冲击微分方程理论，建立动力学模型，并用Matlab 软件对其进行了动力学仿真计算。以Seiko7009a 为实例，根据摆轮与时间、摆角与摆幅等关系，揭示了瑞士叉瓦式擒纵机构动力学特性，并分析了影响走时准确性的关键因素。结论表明: 提出的数学模型在描述和预测动力学上具有较高的精度。
　　在机械手表机芯中，擒纵机构的作用是把能量定期地传给摆轮和游丝所构成的振荡系统，以补充阻尼和碰撞引起的能量消耗; 并且用周期性的锁紧和释放的方式将系统的频率通过轮系以固定转速传给指针，以达到计时目的[1]。自13 世纪带有擒纵机构的钟表发明以来，国内外学者对擒纵机构进行了研究。文献[2]以Ktesibios 钟表机构为研究对象，建立了非弹性碰撞下摆轴和摆轮的数学模型，文献[3]以摆钟的摆式擒纵机构作为闭环系统，用微分方程建立了其动力学模型，文献[4] 利用Matlab 对擒纵机构进行了计算机仿真，文献[5]以ANSYS / LS-DYNA 软件为工具，对微小型钟表机构中擒纵机构的冲击过程进行有限元分析，文献[6]介绍了不同擒纵机构的几何特性，而动力学建模问题的研究也是机械领域内的研 究热点之一[7 ～ 9]。
　　目前约有100 种不同的擒纵机构，其中最常用的机构为瑞士叉瓦式擒纵机构。虽然有很多钟表参考资料介绍过此机构，但是对于其动力学分析的研究却鲜有文献。采用冲击微分方程理论，建立了瑞士叉瓦式擒纵机构的动力学模型，并用Matlab 软件对其进行了动力学仿真。
　　1 工作原理
　　图1 为一典型的瑞士叉瓦式擒纵机构，它由5个主要零件组成: 摆轮、游丝、擒纵轮、擒纵叉、限位钉，其中摆轮和游丝决定了走时的频率。游丝的一端固定，另一端固定在摆轮上。擒纵轮和擒纵叉将发条的能量通过齿轮系传递 给摆轮，其特殊的几何形状使它们在每个周期内发生数次碰撞，并进行静止和转动交替的间歇性运动，同时控制了轮系的转速，限位钉的作用是限制擒纵叉的摆幅。
　　图2 为擒纵机构半周期的4 个状态。图2a) 为自由振动阶段，该阶段擒纵轮和擒纵叉静止，摆轮从振幅位置顺时针旋转一定角度，直到安装在摆轮轴上的限位钉撞上擒纵叉。图2b) 为释放阶段，圆盘钉对擒纵叉的撞击使擒纵轮脱离擒纵叉宝石的锁面。图2c) 为传冲阶段，擒纵轮由于发条力矩的作用推动擒纵叉和摆轮转动，从而实现能量的补充。当擒纵轮齿脱离对应的擒纵叉宝石后，另一个宝石将其锁住，同时擒纵叉因 圆盘钉而停止转动。图2d) 为第二自由振动阶段，摆轮自由转动至振幅位置。另外半个周期也由这4 个状态组成，过程与其类似。
　　2 动力学模型
　　2. 1 运动分析
　　为了简化模型，作如下假设: 忽略游丝自重及变形、忽略摩擦、摆轮的重心与形心重合。模型中使用的各变量符号的意义如表1 所示。
　　1) 自由振动阶段
　　摆轮的运动可以用下式表示
　　这个阶段摆轮的起始位置是θ0，起始速度为0。结束位置为圆盘钉到达擒纵叉，此时摆轮的角度为θ1，这个阶段的时间为t1，角速度为θ·10。
　　2) 释放阶段
　　假设此阶段为非弹性碰撞，则有
　　3) 传冲阶段
　　此时，摆轮的运动可由下式表示
　　这个阶段起始位置有: t = t1，θ= θ1，θ· = θ··11，结束位置为擒纵叉到达圆盘钉的另一边。此时摆轮的角度为θ2，结束时间为t2，角速度为θ·2。
　　4) 第二自由振动阶段
　　摆轮持续振动到自由振动阶段，它始于t = t2，θ= θ2，θ·= θ·2，终止于角度达到最大值θ3，此时角速度为0，时间为t3。这4 个阶段组成了振动的半周期，然后摆轮按相反方向回到起始位置，组成一个完整的振动周期。
　　2. 2 冲击微分方程
　　在振动的半周期内，碰撞只发生在释放阶段，采用冲击微分方程来进行研究[10]。它由一个微分方程，一个冲击方程和一个跳跃判据3 部分组成。其中微分方程决定冲击的状态，冲击方程描述冲击发生瞬间状态的变化情况，跳跃判据确定产生冲击的状态集合。
　　这3 部分可由一阶微分方程表示
　　摆轮的状态定义为
　　图3 为擒纵机构动力学仿真框图。
　　3 实例
　　以Seiko7009a 的擒纵机构为实例，其主要参数如下: 频率f =3 Hz，擒纵机构碰撞次数为21 600 次/h，K=0. 00 071 N/rad。令θ0 = - π/4，θ1 = - 0. 26，θ2 =-0. 26，τ =0. 0 025 N·m; Jb =2 ×10 - 6 kg·m2，Jp =1 ×10 - 7 kg·m2，Je =5 ×10 - 6 kg·m2 ; r1 =2 ×10 - 3 m，r2=9 ×10 - 4m，r3=2. 8 ×10 - 3 m，r4= 7 × 10 - 4 m，l1 = 2. 4×10 - 3 m，l2 =1. 4 ×10 - 3 m，l3 =2. 8 ×10 - 3 m，l4 = 7 ×10 - 4 m。
　　图4 显示了经过约6 ～ 10 个周期( 2 s ～ 3 s) 后，机构的振动逐渐稳定下来。在这些振动周期中，摆轮从擒纵轮中得到能量。
　　图5 为振动稳定后擒纵轮扭矩和摆幅之间的关系。摆幅越大，存储的能量越多，这样可以减少诸如重力、温度、擒纵轮扭矩等的影响。常用摆幅为1. 3 rad ～2. 6 rad。
　　图6 和图7 显示了θ0和θ1在振动稳定后不同扭矩对摆幅的影响。它们都随着扭矩增大而增大，图6 曲线较为平坦，说明初始角对稳定后的摆幅影响很小，输入力矩越大，曲线越平。当手表停止时，轻微的扰动便能将其激活，并稳定在某个振幅。对于θ1来说，该 角度越大，扭矩作用的时间越长，因而导致摆幅的增大导致更多的能量损耗。图7 不同力矩下起碰角与摆幅的关系图8 和图9 显示了游丝弹簧系数和摆轮转动惯量对日差D 的影响，日差D 可定义为D = ( p - 1 /6) × 21 600 × 24 ( 11)
　　从图8 和图9 可看出: 手表走时偏差随着弹簧系数或摆轮转动惯量增加而增加。如果弹簧系数或摆轮转动惯量的偏差为0. 02%，则每天的走时偏差达8 s。因此，这两个参数对走时的准确性最为敏感，在手表设计的时候需要作特殊考虑。
　　4 结论
　　以机械手表中常用的瑞士叉瓦式擒纵机构为研究对象，采用冲击微分方程理论，建立了动力学模型。以Seiko7009a 为例，揭示了瑞士叉瓦式擒纵机构动力学特性，不管起始于何位置，此机构将在约6～ 10 个周期( 2 s - 3 s) 后趋于稳定，而游丝弹簧系数或摆轮转动惯量对走时的准确定影响最大，此动力学模型在描述和预测动力学上具有较高的精度。
　　[参考文献]
　　[1] Fu Y. A Study on the Dynamics of Periodical Impact Mechanismwith an Application in Mechanical Watch Escapement[D]. The Chinese University of Hong Kong，2008
　　[2] Lepschy A M，et al. Feedback control in ancient water and mechanicalclocks[J]. IEEE Transactions on Education，1992，35( 1)
　　[3] Roup A V，et al. On the dynamics of the escapement mechanismof a mechanical clock [A]. Proceedings of the 38th IEEEConference on Decision and Control[C ]，1999，3: 2599～ 2604
　　[4] Schwartz C，Gran R. Describing function analysis using Matlaband simulink [J]. IEEE Control Systems，2001，21( 4)
　　[5] 张之敬，张国智，金鑫. 基于制造特性的微小型擒纵机构有限元仿真[J]. 北京理工大学学报，2007， 27( 10) : 859 ～ 863
　　[6] http: / /mvheadrick. free. fr /clocklinks. html. Headrick M V.Clock and Watch Escapement Mechanics[OZ]，1997
　　[7] 王华伟，余跃庆，苏丽颖，王雯静. 柔顺机构动力学建模新方法[J]. 机械工程学报，2008，44( 10) : 96 ～ 103
　　[8] 唐国潮等. 柔性机械臂动力学建模及特性研究[J]. 机械科学与技术， 2009，28( 8) : 1031 ～ 1034
　　[9] 张劲夫，张俊龙. 偏心凸轮机构动力学的一种新模型及其计算[J]. 中国机械工程，2010，21( 5) : 535 ～ 539
　　[10] Smirnov G V. Introduction to the Theory of Differential Inclusions[M]. American Mathematical Society，2002

太专业的东西，真是看不懂啊。     

欧的登月1863有没有什么给解读一下。

欧的登月1863有没有什么给解读一下。[/quote]
Cal.1863是Cal.863的改进版，而863又是Cal.321机芯的简化版，1863相比1861采用了全金属结构，1861内计时组件有塑料件。

这个机心算个什么档次，同轴技术加不到这上面吧

这个机心算个什么档次，同轴技术加不到这上面吧[/quote]
这个档次问题我就不好说了，请这里的大师们说吧，同轴技术不会用于18系列机芯。

很好的文章，可惜图都消失了。在豆丁上看到全文，分析还是比较精细的，非常感谢chn6兄弟转载！

引用一段话：“在最早的钟表里，用重锤式十字杠杆（原始平衡摆）或有厚轮缘的摆轮来控制机构的运行速度。由于它没有全系统的约束，不可能用数学方法来确定其振动周期，因此，其振动周期，也就是钟表的计时速率就取决于驱动力。”——《不列颠百科全书》1999年国际中文版，18卷121页。

几百年前的人对于这样的结果只能接受，计时系统的工作就像一个黑箱，只知道结果，过程参数无法控制。今天即使有比较先进的分析方法和技术，也仍然不能精确计算过程中的每一处细节，一定程度上还是只能保留不追究的态度，这对于改进问题、提升性能的工作，难免是个遗憾。

不过幸好不是华山一条路，当一种结构存在某种不受控制的固有风险时，换一个思路或许能找到突破，当然关注点还是集中在计时的核心即擒纵系统上，例如O同轴，GP的恒动力等。